Le Mastermind peut-il se résoudre en un seul coup grâce à la chance pure ?
Tu poses ton premier essai et tous les repères sont noirs : code trouvé du premier coup. Est-ce possible ? Oui. Est-ce probable ? Au format classique, cela arrive une fois sur 1 296. Voici le calcul pour chaque niveau, et pourquoi il vaut mieux ne pas compter dessus.
Le calcul : une chance sur le nombre de codes
Au premier essai, tu n'as aucune information : tous les codes sont aussi probables. Ta chance de tomber juste est donc de un sur le nombre de codes possibles.
| Niveau | Codes possibles | Chance au premier essai |
|---|---|---|
| Facile | 360 | 1 sur 360 (0,28 %) |
| Classique | 1 296 | 1 sur 1 296 (0,077 %) |
| Moyen | 4 096 | 1 sur 4 096 (0,024 %) |
| Difficile | 32 768 | 1 sur 32 768 (0,003 %) |
| Extrême | 100 000 | 1 sur 100 000 (0,001 %) |
Une précaution en Facile : le code n'y contient jamais deux fois la même couleur. Un premier essai avec un doublon n'a donc aucune chance d'être le bon.
Pour se faire une idée
Au format classique, 1 chance sur 1 296 :
- c'est un peu moins probable que d'obtenir pile dix fois de suite avec une pièce (1 chance sur 1 024) ;
- c'est 36 fois moins probable qu'un double six avec deux dés (1 chance sur 36) ;
- c'est exactement la probabilité de faire quatre six de suite avec un dé, ce qui n'a rien d'un hasard : 6 × 6 × 6 × 6 = 1 296.
Et en deux coups ?
Dès le deuxième essai, la chance n'est plus seule en jeu : le premier verdict a éliminé des codes. Avec la méthode de Knuth, qui ouvre par deux paires, 1 code sur 1 296 tombe au premier coup et 6 au deuxième. Trouver en deux coups ou moins reste donc rare : 7 codes sur 1 296, environ une partie sur 185.
Le gros des parties bien jouées se termine au quatrième ou au cinquième essai (533 et 694 codes sur 1 296). Les chiffres complets sont dans combien de coups minimum pour gagner.
Pourquoi la méthode écrase la chance
Imagine un joueur qui ne lirait pas les repères et proposerait des codes au hasard, sans jamais se répéter. Au format classique, il lui faudrait en moyenne environ 648 essais, et jusqu'à 1 296 dans le pire cas. Un joueur qui lit les repères et applique une bonne méthode trouve en 5 essais au plus (voir l'algorithme optimal). Tout l'écart vient de l'information tirée de chaque verdict.
C'est aussi pour cela qu'il ne faut pas « tenter sa chance » au premier coup avec un essai mal construit. Le rôle du premier essai n'est pas de gagner, mais de préparer la suite : une bonne ouverture laisse au plus 256 codes, une mauvaise peut en laisser plus de six cents. Les ouvertures sont comparées dans la première tentative au mastermind.
Un coup de chance prouve-t-il quelque chose ?
Non. Trouver du premier coup, c'est avoir le bon résultat sans raisonnement. Sur une seule partie, la chance peut faire mieux que la meilleure méthode ; sur cent parties, elle ne pèse plus rien. Ce qui décrit ta façon de jouer, c'est ton nombre moyen d'essais.
Le même principe vaut pour les autres jeux de code caché, comme l'explique chez nos voisins l'article Wordle et cryptographie. Et si tu veux faire baisser ta moyenne plutôt que d'attendre un miracle, commence par nos 5 stratégies pour gagner au mastermind.
